Capítulo 1

CONCEPTOS BÁSICOS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
UTILIZANDO EXCEL


por José Saúl Velásquez Restrepo

1.VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO

El dinero es un activo que cuesta a medida que pasa el tiempo sin importar que sea de noche o de día, sábado, domingo o festivo; enero o diciembre, etc.  Se cobra a tasas de interés periódicas (mensuales, trimestrales, etc.).  En finanzas se da por entendido que se trabaja con interés compuesto, es decir, que los intereses que se liquidan periódicamente se convierten automáticamente en capital.


Ejemplo:
Si coloco $1.000.000 (PV) a una tasa de interés (i) del 3% mensual, al terminar el primer periodo, el capital es igual a $1.030.000 y los nuevos intereses serán el 3% de esta cifra, y así, sucesivamente.


PV: capital inicial
i: tasa de interés
n: número de periodos (en las mismas que se presenta la tasa)
FV: valor del PV mas los intereses ganados

Fundamento matemático:

Periodos:
Primero: FV1 = PV (1 + i)
Segundo: FV2 = FV1 (1 + i) = P (1 + i)2
Tercero: FV3 = FV2 (1 + i) = P (1 + i)3
n-esimo: FVn = FV (n - 1) (1 + i) = PV (1 + i)n

CLAVE PARA EL ANÁLISIS:

Elaborar cuidadosamente un gráfico que indique las inversiones o los egresos, los cuales deben expresarse con signo negativo con una flecha hacia abajo (), y los ingresos con una flecha hacia arriba (), indicando la fecha exacta en que se presentaran.

Aplicando ese concepto, con calculadoras financieras o en Excel se resuelven en forma rápida las situaciones que se pueden presentar, como indicaremos en el desarrollo de estos cálculos.



2. PROBLEMAS BÁSICOS

A. CALCULAR UN VALOR FUTURO: conociendo un valor presente, la tasa de interés y el número de períodos (expresados en la misma unidad que se definió la tasa de interés). En términos bien sencillos: si una persona ahorra un millón de pesos para reclamarlos dentro de dos años y le pagan el 2.5% mensual ¿cuánto dinero recibe al final del segundo año?


Ejemplo: PV: $1.000.000;  i: 2.5%; n: 24.
FV = Pv (1 + i)n = 1000000 (1 + 0.025)24 = 1.808.725,95

Hagamos ahora el mismo calculo, pero utilizando Excel, pasos a seguir:

a. Entre a Excel.

b.
Clic en Funciones (fx).

c. Seleccione la categoría "Financiera" y la función "VF" (valor futuro).

d. De click en botón aceptar.
e. En el recuadro le solicitaran la siguiente información:

  • tasa de interés (2,5%).
  • número de periodos: (24).
  • pagos: (colocar 1 por ser pago único).
  • VA, valor actual (- 1.000.000)

f. Dar clic en boton aceptar.
g. Evaluar la respuesta (1.808693,601)

B. CALCULAR UN VALOR PRESENTE: que se debe invertir para acumular una suma de dinero en un tiempo determinado, en periodos equivalentes, a una tasa de interés periódica y conocida.

Ejemplo: si se necesita acumular 5.000.000 de pesos al final del tercer año, ¿cuánto dinero se debe depositar hoy si pagan intereses al 1.5% mensual?

Utilizando Excel; pasos a seguir:

a. Entre a Excel.

b. De un clic en funciones (fx).

c. Seleccione en el menú  la función "VA" valor presente.

d. De click en botón aceptar.

e. En el recuadro le solicitaran la siguiente información:

  • tasa de interés (1,5%).
  • número de periodos: (36).
  • pagos: (colocar 1;  en este modelo es pago único).
  • VF "valor final" (5000.000)
  • f. Dar clic en botón aceptar.

    g. Evaluar el resultado (- 2.925.476,337)

    C. CALCULAR EL VALOR FUTURO (FV) CON PAGOS PERIÓDICOS: cuando se hacen pagos iguales y periódicos (Pagos), se conoce el número de periodos (n) y la tasa de interés por cada periodo.

    Ejemplo: si se ahorra mensualmente  una cifra definida, a una tasa previamente convenida, durante un número de periodos acordado ¿cuánto dinero alcanzo a reunir?

    Ejercicio numérico: si se depositan $50.000 mensuales en un fondo que reconoce el 1.5% mensual ¿qué capital se tendrá al final de 15 meses?

    Utilizando Excel; pasos a seguir:

    a. Entre a Excel.

    b. De un clic en funciones (fx).

    c. Seleccione en el menú la función "VA" valor actual.

    d. De click en botón aceptar.

    e. En el recuadro le solicitaran la siguiente información:

    • tasa de interés (1,5%).
    • número de periodos: (15).
  • Pagos (50.000)

    f. Dar clic en botón aceptar.

    g. Evaluar el resultado (- 834.106,8888)


    D. CALCULAR LOS PAGOS PERIÓDICOS (PAGOS): cuando se define un valor futuro que se quiere acumular (conocido); un periodo de tiempo para hacerlo (n) y la tasa de interés (i), expresada en el mismo período en que deben invertir. En otras palabras, si se determina una cifra que se quiere acumular en un número de periodos previamente definido, a una tasa acordada, ¿cuánto se debe aportar cada mes?

    Ejemplo: cuánto se debe ahorrar durante 10 meses para tener $1.500.000 al final, si ofrecen un interés del 1.5% efectivo mensual.

    Utilizando Excel; pasos a seguir:

    a. Entre a Excel.

    b. De un clic en funciones (fx).

    c. Seleccione en el menú  la función "Pagos ".

    d. De click en botón aceptar.

    e. En el recuadro le solicitaran la siguiente información:

  • Valor futuro: (1.500.000, cifra a acumular)
    • tasa de interés (1,5%).
    • número de periodos: (10).

    f. Dar clic en botón aceptar.

    g. Evaluar el resultado (-140.151,27)


    E. CALCULAR UN VALOR PRESENTE (PV) DE PAGOS PERIÓDICOS: que ganando una tasa de interés determinada (i), permita recibir una suma periódica definida (conocida), durante un tiempo previamente acordado. Dicho de otra forma, si se quiere recibir una cifra mensual previamente definida,  con una tasa de interés convenida, cuanto se debe entregar hoy.

    Ejemplo: para tener una renta de $500.000 mensuales durante 60 meses, ¿cuál debe ser la inversión inicial, si se reconocen intereses del 1.5% mensual?

    Utilizando Excel, pasos a seguir:

    a. Entre a Excel.

    b. De un clic en funciones (fx).

    c. Seleccione en el menú  la función "VA".

    d. De click en botón aceptar .

    e. En el recuadro le solicitaran la siguiente información:

    • tasa de interés: (1.5%)
    • número de periodos: (60)
  • Valor futuro: 500.000 (cifra a acumular)

    f. Dar clic en botón aceptar.

    g. Evaluar el resultado (- 19.690.134.44)


    F. CALCULAR TASA DE INTERÉS Y LOS PERIODOS: conociendo los demás elementos, a saber: pagos periódicos, número de periodos, tasa de interés y un  valor presente o futuro, según el caso. Usando la calculadora electrónica o el Excel se pueden encontrar la i (tasa de interés) y la n (periodos).

    Ilustremos de una vez con ejemplos:

    I. TASA DE INTERÉS: ¿cuál es la tasa de interés que duplica 1.000.000 de pesos en 24 meses?

    Utilizando Excel; pasos a seguir:

    a. Entre a Excel.

    b. De un clic en funciones (fx).

    c. Seleccione en el menú la función "Tasa".

    d. De click en botón aceptar.

    e. En el recuadro le solicitaran la siguiente información:

    • Tasa de interés (1,5%)
    • Numero de periodos (24)
    • VA (– 1.000.000)
  • VF (2.000.000)

    f. Dar clic en botón aceptar.

    g. Evaluar el resultado (2.9302237%)


    II. NÚMERO DE PERIODOS: ilustremos con un ejemplo ¿en cuánto tiempo se acumulan 2.000.000 de pesos si se invierte 1.000.000 al 2.9302237% mensual.

    Utilizando Excel; pasos a seguir:

    a. Entre a Excel.

    b. De un clic en funciones (fx).

    c. Seleccione en el menú  la función "Nper"que significa número de periodos.

    d. De click en botón aceptar.

    e. En el recuadro le solicitaran la siguiente información:

    • Tasa de interés (2,9302237%)
    • VA (– 1.000.000)
  • VF (2.000.000)

    f. Dar clic en botón aceptar.

    g. Evaluar el resultado: 24 meses.


    G. FÓRMULA PARA CALCULAR LA TASA EFECTIVA DE INTERÉS



    ie: tasa de interés efectivo
    i: tasa de interés nominal
    t: periodos de capitalización

    Ejemplo: si la tasa nominal es del 36% anual con capitalización trimestral, ¿cuál es la tasa de interés efectiva?

    T: 4 trimestres
    ie: (1 + 0.36 / 4)4 - 1
    ie: (1 + 0.009)4 - 1
    ie: 1.411582 - 1 = 0.411582
    ie: 41.1582%
     

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