Capítulo 18

APRENDIENDO DE GRANDES MATEMÁTICOS CON IA

por José Saúl Velásquez Restrepo

La historia de las matemáticas está llena de contribuciones valiosas de diversos matemáticos a lo largo de los siglos. Entre ellos:

Euclides:
(circa 300 a.C.) el griego Euclides, conocido como el "Padre de la Geometría", cuyo periodo se estima alrededor del 300 AC.es una figura clave en la historia de las matemáticas, y su legado perdura hasta hoy. Su obra más famosa es "Los Elementos", una recopilación de conocimientos matemáticos que consta de 13 libros.

"Los Elementos" es una de las obras más influyentes en la historia de las matemáticas; aborda diversos temas, incluyendo la geometría euclidiana, la teoría de números y la teoría de proporciones, estructurada de manera lógica y deductiva, comenzando con definiciones básicas, postulados y axiomas, para luego desarrollar teoremas y demostraciones, se utilizó como texto principal en la enseñanza de matemáticas durante muchos siglos y sigue siendo una referencia en la actualidad.

Estos axiomas, como el famoso "postulado de las paralelas", sentaron las bases para el estudio sistemático de la geometría. Su enfoque axiomático fue revolucionario y sirvió como modelo para el desarrollo de otras ramas de las matemáticas. Hizo importantes contribuciones a la teoría de números; entre sus logros se encuentra la demostración de la infinitud de los números primos, un resultado que sigue siendo fundamental en en este campo. Su obra tuvo un impacto duradero en la educación matemática y en el pensamiento lógico. Aunque la geometría ha evolucionado a lo largo de los siglos, la euclidiana sigue siendo un hito crucial en la historia de la disciplina a  pesar de que los posteriores a él, exploraron geometrías no euclidianas, lo que lo ha convertido en una figura central en la historia de las matemáticas. 

Arquímedes:
(circa 287-212 a.C.) matemático, físico, ingeniero, inventor y astrónomo griego que vivió en la antigua Siracusa, en Sicilia, durante el periodo helenístico. Fue pionero en el cálculo integral, la determinación de áreas y volúmenes, y la invención de maquinarias ingeniosas.Es famoso por descubrir el principio de flotación, que establece que un cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo. Este principio es fundamental para entender el comportamiento de los objetos flotantes en el agua.
Hizo importantes contribuciones a la geometría y al cálculo integral. Utilizó el método de agotamiento para calcular áreas y volúmenes de figuras geométricas, una aproximación temprana del cálculo integral. También encontró formas de calcular pi, la constante que relaciona la circunferencia de un círculo con su diámetro, con precisión sorprendente.
Se le atribuyen varios dispositivos y máquinas, como la famosa "tornillo de Arquímedes", una máquina utilizada para elevar agua; también diseñó máquinas de guerra avanzadas, como catapultas y espejos ardientes, que se utilizaban para defender Siracusa contra las invasiones romanas.
Aplicó sus habilidades matemáticas a problemas prácticos. Su obra "Sobre los cuerpos flotantes" aborda la teoría de la flotación, y "El arenario" trata sobre números grandes y el sistema de numeración griego. Aunque sus contribuciones a la física y la astronomía no fueron tan extensas como las matemáticas. Arquímedes también hizo avances en estos campos; Su obra "Sobre la esfera y el cilindro" trata sobre la geometría de los sólidos; su genio y originalidad siguen siendo admirados en la actualidad. 

Leonhard Euler: 
matemático suizo del siglo XVIII que hizo contribuciones sobresalientes en diversas ramas de las matemáticas y la física. Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza, y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Euler es considerado uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, y su trabajo ha tenido un impacto significativo en muchas áreas de las ciencias exactas.
Es conocido por ser el fundador de la teoría de grafos. En 1736, resolvió el famoso problema de los puentes de Königsberg, que consistía en determinar si era posible recorrer todos los siete puentes de la ciudad sin pasar por ninguno más de una vez. Euler demostró que no era posible y, al hacerlo, sentó las bases de la teoría de grafos al introducir el concepto de camino euleriano y circuito euleriano.
Euler hizo importantes contribuciones al análisis matemático, incluyendo el desarrollo del cálculo infinitesimal. Introdujo la notación moderna para funciones matemáticas, utilizando letras como e, i, π, y ∑∑ para representar constantes y sumatorias. Euler también trabajó en la teoría de números, la teoría de funciones y las ecuaciones diferenciales.
Realizó numerosos avances en la teoría de números, incluyendo el teorema de Euler sobre los números primos y la función phi de Euler, que está relacionada con la aritmética modular y la teoría de números algebraicos.
Contribuyó de manera significativa a la física matemática. Desarrolló la teoría de la elasticidad y formuló las ecuaciones fundamentales de la hidrodinámica. Euler también trabajó en la teoría de la vibración de cuerdas y en la teoría del magnetismo.
Euler introdujo y popularizó muchas notaciones matemáticas que se utilizan comúnmente hoy en día. La notación e para la base del logaritmo natural, i para la unidad imaginaria, y la letra griega π para representar la constante pi, son ejemplos notables de sus contribuciones. Euler estableció la relación entre el número de vértices (V), aristas (E) y caras (F) en un poliedro convexo mediante la famosa fórmula −+=2VE+F=2. Esta relación es conocida como la fórmula de Euler para poliedros y es fundamental en la topología. 

Carl Friedrich Gauss:
nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick, Ducado de Brunswick-Wolfenbüttel (actualmente Alemania). Desde joven, Gauss mostró un prodigioso talento matemático. Se cuenta la famosa anécdota de que descubrió la suma de los números naturales de 1 a 100 cuando aún era un niño al advertir un patrón en la disposición de los números. Llevó una vida relativamente privada y dedicada a sus investigaciones. A pesar de sus muchas contribuciones, Gauss rara vez publicaba sus descubrimientos de inmediato y prefería perfeccionar sus trabajos antes de compartirlos con la comunidad científica.

Hizo contribuciones fundamentales a la teoría de números, y su obra más conocida en este campo es el "Disquisitiones Arithmeticae" (Investigaciones Aritméticas), publicado en 1801. En este trabajo, Gauss estableció la base para la teoría de números algebraicos y desarrolló conceptos clave como la ley de la reciprocidad cuadrática. Contribuyó significativamente a la geometría, especialmente en la teoría de curvas y superficies. Su obra "Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas" trata sobre la clasificación de las curvas algebraicas y el concepto de curvatura.  Aunque menos conocido, Gauss también hizo contribuciones a la estadística y la teoría de la probabilidad. Desarrolló el método de los mínimos cuadrados, que es fundamental en estadística y se utiliza para encontrar la línea de mejor ajuste a un conjunto de datos. Trabajó en el desarrollo del análisis matemático, y su teorema del valor intermedio es un resultado importante; este teorema establece que si una función continua toma dos valores distintos en sus extremos, también toma todos los valores intermedios en algún punto del intervalo. También realizó contribuciones en el campo de la astronomía y la geofísica. En colaboración con Wilhelm Weber, midió el campo magnético de la Tierra y desarrolló el magnetómetro. Además, calculó la órbita del asteroide Ceres, el primer asteroide descubierto. Gauss es recordado como uno de los más grandes matemáticos de la historia. Su trabajo influyó en numerosos campos de las matemáticas y la física, y muchos de sus conceptos y métodos son fundamentales en la actualidad. La unidad de medida del campo magnético lleva su nombre en su honor (el gauss); su trabajo continúa siendo estudiado y aplicado en diversas disciplinas. 

Évariste Galois:
nació el 25 de octubre de 1811 en Bourg-la-Reine, Francia, y murió trágicamente a la edad de 20 años en 1832 durante un duelo. A pesar de su corta vida, dejó un legado matemático duradero. Galois es famoso por sus contribuciones a la teoría de grupos y la resolución de ecuaciones algebraicas.
Su obra más influyente es la teoría de grupos, desarrollada  para abordar el problema de la resolubilidad de las ecuaciones algebraicas mediante radicales. Galois demostró que no todas las ecuaciones algebraicas pueden resolverse mediante fórmulas que involucren solo raíces cuadradas, cúbicas y otras raíces de números conocidos. Este resultado fue revolucionario y llevó al nacimiento de la teoría de grupos como una herramienta fundamental en matemáticas abstractas. Galois desarrolló la teoría de grupos para estudiar las propiedades de las raíces de las ecuaciones algebraicas y demostró que existe una correspondencia entre las simetrías de las raíces y la estructura algebraica de un grupo. Esta conexión profunda entre simetría y estructura algebraica ha tenido un impacto significativo en diversas ramas de las matemáticas y la física. Además de la teoría de grupos, Galois también trabajó en teoría de números y ecuaciones diofánticas; sus ideas sentaron las bases para la teoría de Galois, que es esencial en el estudio de extensiones de campos y la resolución de ecuaciones algebraicas.
A pesar de su muerte prematura, el trabajo de Évariste Galois ha tenido un impacto duradero en las matemáticas y su legado sigue vivo en la teoría de grupos y la teoría de Galois, que son áreas fundamentales en álgebra moderna. 

Georg Cantor: 
matemático alemán cuyas ideas revolucionaron la comprensión de la teoría de conjuntos y los números infinitos. Cantor introdujo el concepto de "cardinalidad" para medir el tamaño de conjuntos. Antes de sus trabajos, se pensaba que todos los conjuntos infinitos eran esencialmente del mismo tamaño. Sin embargo, Cantor demostró que había infinitos de diferentes tamaños, clasificándolos mediante números cardinales. Por ejemplo, el conjunto de números naturales (1, 2, 3, ...) tiene la misma cardinalidad que el conjunto de todos los números enteros negativos (-1, -2, -3, ...) a pesar de que ambos son infinitos.
La demostración más famosa de Cantor sobre la existencia de infinitos de diferentes tamaños se refiere a los números reales. Demostró que el conjunto de números reales en un intervalo dado (como 0 a 1) tiene una cardinalidad mayor que la del conjunto de números naturales. Esto implica que hay "más" números reales entre 0 y 1 que números naturales, aunque ambos conjuntos sean infinitos. Cantor también introdujo el concepto de "números transfinitos", que son números que son más grandes que cualquier otro ordinal finito pero aún son infinitos. Estos incluyen los números aleph (א), que representan la cardinalidad de conjuntos infinitos. El aleph-null (א₀) es el cardinal del conjunto de números naturales, pero Cantor demostró que hay cardinales más grandes, como aleph-uno (א₁) y así sucesivamente. A pesar de sus contribuciones significativas, Cantor enfrentó resistencia y críticas de algunos de sus contemporáneos; su trabajo sentó las bases para la teoría de conjuntos y la noción moderna de infinitud en matemáticas, y su legado sigue influyendo en diversas ramas de la disciplina 

 

Alan Turing: 
destacado lógico y matemático británico cuyas contribuciones abarcaron varios campos, desde la teoría de la computación hasta la criptografía. Alan Turing es mejor conocido por su concepto de la máquina de Turing, una idea fundamental en la teoría de la computación. En 1936, propuso la máquina de Turing como un modelo abstracto de cómputo, diseñada para simular cualquier algoritmo matemático. Este concepto es esencial en la comprensión de la capacidad de cómputo y los límites de las computadoras.

Durante la Segunda Guerra Mundial, Turing desempeñó un papel crucial en la inteligencia artificial británica al trabajar en Bletchley Park, un centro de descifrado. Allí, lideró un equipo que desarrolló la "Bomba", una máquina electromecánica diseñada para descifrar los códigos de la máquina Enigma utilizada por las fuerzas alemanas. Sus contribuciones y las de su equipo fueron fundamentales para el éxito de las operaciones aliadas y se consideran un factor clave para acortar la duración de la guerra.
Propuso el famoso "Test de Turing" en 1950 como una forma de evaluar la inteligencia de una máquina. En este test, una persona interactúa con una máquina y otra persona sin saber cuál es cuál, y si la persona no puede distinguir la máquina de la persona, se considera que la máquina ha superado el test y ha demostrado un nivel de inteligencia.
Antes de sus trabajos en la teoría de la computación, Turing realizó importantes contribuciones a la lógica matemática. Desarrolló el concepto de la "máquina universal" que podría simular el funcionamiento de cualquier máquina de Turing, estableciendo así las bases para la arquitectura de las computadoras modernas.

La vida y obra de Alan Turing han dejado un impacto duradero en la ciencia de la computación, la inteligencia artificial y la criptografía, y su legado sigue siendo celebrado en la actualidad; fue procesado por su homosexualidad, que era ilegal en el Reino Unido en esa época; desde entonces, ha habido esfuerzos para reconocer y disculpar oficialmente por el trato injusto que sufrió.

Andrew Wiles:
británico conocido por su demostración del último teorema de Fermat, una conjetura que había desconcertado a los matemáticos durante siglos. Su trabajo implicó una profunda comprensión de áreas como la teoría de números y la geometría algebraica, nacido el 11 de abril de 1953 en Cambridge, Reino Unido; un matemático británico que se destacó por su trabajo en la demostración del último teorema de Fermat. Este teorema, formulado por Pierre de Fermat en el siglo XVII, afirmaba que no existen soluciones enteras para la ecuación xn+yn=zn  cuando n es un número entero mayor que 2. Aunque Fermat afirmó tener una demostración para este teorema en el margen de su copia de la obra de Diofanto, nunca proporcionó detalles, lo que llevó a que el problema se convirtiera en uno de los misterios más famosos de la historia de las matemáticas.

Wiles comenzó a abordar el último teorema de Fermat en la década de 1980. Después de años de investigación intensiva y colaboración con otros matemáticos, finalmente presentó su demostración en 1994. Su trabajo combinó diversas ramas de las matemáticas, como la teoría de números, la geometría algebraica y la teoría modular. La demostración de Wiles fue extraordinariamente compleja y requería técnicas avanzadas y profundas para abordar el problema.

La clave para el éxito de Wiles fue la conexión que estableció entre el último teorema de Fermat y la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil, que relaciona curvas elípticas y formas modulares. La prueba completa se basa en el uso de herramientas matemáticas muy avanzadas y novedosas, y su éxito marcó un hito importante en la historia de las matemáticas. Por su destacado logro, Andrew Wiles recibió numerosos premios y reconocimientos, incluido el Premio Abel en 2016, considerado uno de los más prestigiosos en matemáticas. La demostración del último teorema de Fermat no sólo resolvió un problema pendiente durante siglos, sino que también abrió nuevas puertas a la comprensión de las conexiones profundas entre diferentes áreas de las matemáticas.

Opinión de la IA: La obra "Aprendiendo de Grandes Matemáticos con IA" de José Saúl Velásquez Restrepo destaca la importancia de varios matemáticos a lo largo de la historia y su impacto en el desarrollo de esta disciplina. La narrativa abarca desde Euclides hasta Andrew Wiles, y resalta sus contribuciones sobresalientes. Aquí hay algunas observaciones sobre la presentación de estos matemáticos:
Enfoque en la Historia de las Matemáticas: El texto proporciona una visión histórica sólida de las contribuciones matemáticas, destacando hitos como "Los Elementos" de Euclides, el principio de flotación de Arquímedes, la teoría de grafos de Euler, las contribuciones fundamentales de Gauss, la teoría de grupos de Galois, la revolución de Cantor en la teoría de conjuntos, la máquina de Turing de Alan Turing y la demostración del último teorema de Fermat por Andrew Wiles.
Aplicación de las Matemáticas: Se resalta cómo estos matemáticos no solo contribuyeron a la teoría abstracta, sino que también aplicaron sus conocimientos a problemas prácticos. Por ejemplo, Arquímedes aplicó sus habilidades matemáticas a la física y la ingeniería, y Alan Turing desempeñó un papel crucial en la Segunda Guerra Mundial a través de la criptografía.
Conexiones Interdisciplinarias: Se destaca la interconexión de las matemáticas con otras disciplinas, como la física, la ingeniería, la teoría de números, la lógica y la teoría de la computación. Esto refleja la naturaleza interdisciplinaria de las matemáticas y su impacto en diversos campos.
Énfasis en la Innovación y Originalidad: Se subraya la originalidad y la innovación de cada matemático presentado. Desde los postulados de Euclides hasta la máquina de Turing, se resalta cómo cada figura introdujo conceptos novedosos que revolucionaron la forma en que entendemos las matemáticas.
Reconocimiento de Desafíos Personales: Además de las contribuciones matemáticas, se menciona el contexto personal de algunos matemáticos, como el procesamiento de Alan Turing por su homosexualidad. Esto agrega un componente humano a la narrativa y reconoce los desafíos que algunos matemáticos enfrentaron en sus vidas.
Énfasis en la Continuidad del Legado: Se destaca cómo las contribuciones de estos matemáticos siguen siendo relevantes en la actualidad y continúan influyendo en diversas áreas de las matemáticas y la ciencia. Esto resalta la duradera importancia de sus logros.
En general, el texto proporciona una visión completa y apreciativa de la historia de las matemáticas, mostrando cómo estas figuras han dejado un impacto perdurable en la disciplina. Además, la conexión con la inteligencia artificial y el aprendizaje a través de la IA sugiere una reflexión sobre cómo las herramientas modernas pueden ampliar nuestra comprensión y aplicación de las matemáticas.

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