Capítulo 26

IA, GEOMETRIA EUCLIDIANA Y NO EUCLIDIANAS

Generalidades: es una rama fundamental de las matemáticas que estudia las propiedades, formas, tamaños y relaciones de las figuras en el espacio y en el plano. Su nombre proviene del griego geo (tierra) y metría (medida), pues en sus inicios estaba vinculada a la medición de terrenos.
Historia y evolución: civilizaciones antiguas: egipcios y babilonios ya aplicaban conocimientos geométricos en la construcción de templos, pirámides y en la agricultura.
Grecia clásica: Euclides, con su obra Los Elementos, sistematizó la geometría euclidiana, que permaneció como base durante más de 2.000 años.
Edad Media y Renacimiento: la geometría se aplicó en arquitectura, arte (perspectiva) y navegación.
Siglo XIX: surgieron las geometrías no euclidianas (hiperbólica y elíptica), que revolucionaron la matemática y dieron soporte a teorías modernas como la relatividad de Einstein. 

Ramas principales:
Geometría plana: estudia las figuras en un plano (puntos, rectas, polígonos, círculos).
Geometría del espacio: analiza cuerpos tridimensionales (esferas, cubos, prismas, pirámides).
Geometría analítica: introduce coordenadas y álgebra para describir figuras matemáticamente.
Geometría diferencial: estudia curvas y superficies usando cálculo.
Geometría proyectiva: investiga las propiedades de las figuras que se mantienen bajo proyecciones (muy usada en arte y diseño).
Geometría no euclidiana: plantea espacios curvos y alternativos a la geometría clásica.

Conceptos básicos: punto: no tiene dimensiones, solo posición.
Recta: sucesión infinita de puntos en una misma dirección.
Plano: superficie bidimensional ilimitada.
Ángulos: abertura entre dos rectas que se encuentran en un punto.
Figuras geométricas: conjunto de puntos delimitados (triángulos, cuadrados, círculos, etc.).
Cuerpos geométricos: figuras tridimensionales con volumen.

Aplicaciones de la geometría:
Arquitectura y construcción: diseño y cálculo de estructuras.
Ingeniería: análisis de materiales, mecánica, robótica.
Arte y diseño: perspectiva, proporción, estética visual.
Astronomía y física: comprensión del espacio, movimiento de cuerpos celestes, relatividad.
Tecnología digital: gráficos por computadora, realidad virtual, videojuegos.
Importancia: la geometría es más que una disciplina escolar: es una herramienta universal para interpretar y transformar el mundo. Desde entender la forma de un cristal hasta modelar el universo, su lenguaje conecta las matemáticas con la vida cotidiana y la ciencia avanzada.
Generalidades, diferencias y similitudes:
Geometría Euclidiana: es la geometría que formuló Euclides (s. III a. C.) en su obra Los Elementos. Se basa en cinco postulados fundamentales, de los cuales el más famoso es el quinto postulado o postulado de las paralelas: “Por un punto exterior a una recta solo puede trazarse una paralela a ella”.
Se aplica al espacio plano y es la geometría de la vida cotidiana.
Ejemplos: medir terrenos, construir edificios, dibujar planos, calcular distancias en una ciudad.

Propiedades clave: la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre es 180°.
Las líneas paralelas nunca se cortan.
El espacio es “plano” y sigue reglas de proporcionalidad recta. 

Geometrías No Euclidianas: surgieron en el siglo XIX, cuando matemáticos como Lobachevski, Bolyai y Riemann cuestionaron el quinto postulado.
Estas geometrías exploran espacios curvos y no planos.

Geometría hiperbólica (Lobachevski y Bolyai): el espacio tiene una curvatura negativa (como una silla de montar).
Por un punto exterior a una recta se pueden trazar infinitas paralelas.
La suma de los ángulos de un triángulo es menor a 180°.
Geometría elíptica o riemanniana (Riemann)
El espacio tiene curvatura positiva (como la superficie de una esfera).
No existen líneas paralelas: todas se terminan cruzando.
La suma de los ángulos de un triángulo es mayor a 180°. 

Similitudes:  Todas son geometrías rigurosas, con axiomas y teoremas bien definidos.
Buscan describir relaciones espaciales: distancias, ángulos, figuras.
Son coherentes dentro de sus propios sistemas lógicos. 

Diferencias principales:

Aplicaciones modernas:
Euclidiana: vida diaria, construcción, mapas urbanos.
No Euclidianas: la geometría hiperbólica se usa en teoría de redes, internet, criptografía.
La geometría elíptica es esencial en la física moderna, especialmente en la teoría de la relatividad de Einstein, que describe el espacio-tiempo curvo del universo. Conclusión: la geometría euclidiana nos sirve para entender lo cercano y práctico en un mundo plano, mientras que las geometrías no euclidianas abren la puerta a comprender el cosmos, el espacio-tiempo y fenómenos más complejos.
Opinión de la IA: Excelente trabajo el que presentas, José Saúl. Tu artículo sobre Geometría Euclidiana y No Euclidiana está muy bien estructurado y cumple con un propósito claro: explicar de forma didáctica, histórica y aplicada una de las ramas más fascinantes de las matemáticas. Te comparto mi opinión en tres puntos:
Fortalezas de tu artículo
Claridad pedagógica: logras explicar conceptos abstractos con ejemplos cotidianos (terrenos, edificios, ciudades para la euclidiana; universo y espacio-tiempo para la no euclidiana). Eso facilita la comprensión para un público amplio.
Rigor y síntesis histórica: rescatas el aporte de Euclides, Lobachevski, Bolyai y Riemann, mostrando la evolución del pensamiento matemático.
Organización excelente: generalidades → diferencias → similitudes → aplicaciones → conclusión. Esto le da fluidez y lógica al texto.
Relevancia actual: al conectar la geometría con la relatividad de Einstein, la física moderna y la tecnología digital, das al lector la certeza de que no es un tema del pasado, sino muy vigente.
Oportunidades de mejora Profundizar un poco más en ejemplos visuales: podrías incluir comparaciones gráficas (un triángulo en un plano, en una esfera y en una superficie hiperbólica). Eso haría que los conceptos se comprendan aún mejor.
Resaltar la conexión interdisciplinaria: la geometría no solo influye en matemáticas o física, también en biología (formas fractales en la naturaleza), arte (perspectiva renacentista), e incluso en arquitectura contemporánea (estructuras basadas en superficies curvas).
Lenguaje motivador: podrías añadir frases que inspiren, como “la geometría es el puente entre la mente humana y el universo” o “al cuestionar un postulado, los matemáticos abrieron una nueva forma de ver la realidad”.
Valoración final
Tu artículo logra lo que debe hacer una buena divulgación: enseñar, contextualizar y despertar curiosidad. Muestra la geometría como una herramienta viva que evoluciona junto con la ciencia.
En resumen: muy bien escrito, claro, útil y con potencial para ser material educativo o de divulgación científica en talleres, revistas o clases.