Capítulo 1

REPASANDO MATEMÁTICAS CON LA IA

 

por José Saúl Velásquez Restrepo


Las matemáticas abarcan una amplia variedad de conceptos que proporcionan una base sólida para abordar problemas relacionados, en una variedad de disciplinas; su comprensión permite a estudiantes y profesionales aplicar principios rigurosos en situaciones prácticas y teóricas; los más útiles y fundamentales son:
Conceptos esenciales en matemáticas que se utilizan en una variedad de contextos, desde problemas aritméticos simples hasta conceptos más avanzados en álgebra y cálculo.
Números Naturales (N): se utilizan para contar elementos, comenzando con 1 y aumentando de uno en uno indefinidamente (1, 2, 3, ...).
 
Números Enteros (Z): incluyen los números naturales, sus opuestos negativos y el cero (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...).
 
Números Racionales (Q): los que pueden expresarse como el cociente (fracción) de dos números enteros, donde el denominador no es cero (por ejemplo, 1/2, -3/4, 7).
 
Números Irracionales: no pueden expresarse como fracciones exactas; ejemplo, la raíz cuadrada de 2.
 
Números Reales (R): incluyen a los racionales y los irracionales.
 
Números Complejos (C): se componen de una parte real y una parte imaginaria (por ejemplo, 3 + 2i, donde 3 es la parte real y 2i es la parte imaginaria).
 
Operaciones Básicas:
Suma (+): adiciona dos o más números para obtener una cantidad total.
 
Resta (-): de un número se saca otro para saber lo que queda.
 
Multiplicación (×): combina dos o más números para obtener un producto.
 
División (÷ o /): reparte una cantidad en partes iguales o encontrar cuántas veces un número cabe en otro.
 
Potenciación (^ o): eleva un número a una potencia que indica cuántas veces se multiplica ese número por sí mismo (por ejemplo, 2^3 = 2 * 2 * 2 = 8).
 
Radical (√): operación inversa de la potenciación. El símbolo √ indica la raíz cuadrada, y en general, se puede tener la raíz n-ésima (√n).
 
Módulo (%): Devuelve el resto de la división de un número por otro.
 
 
Álgebra elemental: resolución de ecuaciones y operación de expresiones algebraicas. Funciones: relaciones entre variables y sus gráficos, conceptos que aportan una base sólida para abordar temas más avanzados en matemáticas y ciencias aplicadas; la práctica constante y la resolución de problemas son clave para comprenderlos y dominarlos.
Polinomios:
  • Un polinomio es una expresión algebraica que involucra sumas, restas y multiplicaciones, pero no divisiones por variables. Por ejemplo, 32−27+53x22x+5. El grado de un polinomio es el mayor exponente de su variable. En el ejemplo anterior, el grado es 2.
Factorización:
  • La factorización es el proceso de formular una expresión algebraica como un producto de factores. Por ejemplo, 2−4x2−4se puede factorizar   como (x+2)(x−2). La factorización es útil para simplificar expresiones y resolver ecuaciones.
  • Ecuaciones cuadráticas: Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones polinómicas de segundo grado, como ax2+bx+c=0. 
  • La fórmula cuadrática 2a−2± b2−4ac) se utiliza para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática.
Inecuaciones:
  • Las inecuaciones son expresiones matemáticas que indican que una cantidad es mayor o menor que otra. Por ejemplo, 2>82x>8 es una inecuación. Resolverla es encontrar los valores de la variable que satisfacen la desigualdad.
Sistemas de ecuaciones:
  • Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten las mismas variables. La solución común a todas las ecuaciones se llama solución del sistema. Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones incluyen sustitución, eliminación y matrices.
Funciones trigonométricas: como el seno, coseno y tangente, son extensiones del álgebra que se utilizan para modelar relaciones en triángulos y círculos y son ajustables en geometría, física, y otras áreas de las matemáticas aplicadas.
Álgebra lineal: estudia vectores, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica en campos como la física, la estadística, la ingeniería y la informática.

Teoría de números: trata sobre las propiedades y relaciones de los números, especialmente enteros. Incluye temas como números primos, congruencias y aritmética modular.
 
Números primos: son como las superestrellas de los números enteros; son como los famosos del mundo de los números. Un número primo es simplemente mayor que 1; es especial porque solo tiene dos amigos cercanos: el número 1 y él mismo. Ningún otro número puede dividirlo sin dejar residuo. Por ejemplo, 2, 3, 5, 7, 11, y así sucesivamente, son todos números primos.
Congruencias: es como una forma de medir la "cercanía" entre dos números después de dividirlos por otro número. Si  se tienen dos números, digamos a y b, y se resta, y el resultado es divisible por otro número (digamos m), entonces decimos que a y b son "congruentes módulo m". Es como decir que tienen la misma "huella digital" después de ser divididos por ese número m. Por ejemplo, 17 y 5 son congruentes módulo 6, porque cuando se resta 5 de 17, ser obtiene 12, el cual es divisible por 6.
Aritmética modular: es como una versión especial de la aritmética que funciona en un mundo donde los números "se envuelven" al llegar a un cierto valor llamado módulo; ese  como si estuvieran dando vueltas en un reloj: cuando alcanzan un cierto número, vuelven al principio. Esto es útil en matemáticas, seguridad informática y otros lugares. Si dos números son congruentes módulo m, significa que tienen el mismo residuo cuando se dividen por m. Se pueden hacer operaciones básicas como suma, resta y multiplicación, pero con un toque especial. Por ejemplo, si se trabaja módulo 5, entonces 3 + 4 es congruente con 2, porque cuando se suma 3 y 4, resulta 7, que tiene un residuo de 2 cuando se divide por 5. Es como hacer matemáticas con un reloj que solo va hasta el número 5.
 
Figuras geométricas: triángulos, cuadrados, círculos, etc.  Teorema de Pitágoras y teorema de Tales: conceptos fundamentales en geometría.
La geometría es una herramienta poderosa para comprender y describir las formas y las relaciones espaciales en el mundo que nos rodea; una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades y las relaciones de las figuras en el espacio, así como de las propiedades del espacio mismo; también abarca áreas más avanzadas como la geometría diferencial, la topología y la geometría algebraica, cada una de las cuales tiene aplicaciones específicas en diversos campos de las matemáticas y la física.  Es una disciplina que ha sido fundamental en el desarrollo de la matemática y tiene una amplia aplicación en diversos campos, desde la física hasta la arquitectura.
Figuras geométricas: son formas específicas que pueden describirse mediante propiedades como longitud, área, volumen y ángulos. Algunas de las figuras geométricas más básicas incluyen triángulos, cuadrados, círculos, rectángulos y polígonos en general. Cada una de estas formas tiene propiedades únicas que pueden estudiarse y aplicarse en diferentes contextos. Por ejemplo, los triángulos son fundamentales en trigonometría, mientras que los círculos son esenciales en el estudio de la geometría analítica.
 
Teorema de Pitágoras: es uno de los conceptos fundamentales en geometría y establece una relación crucial entre los lados de un triángulo rectángulo, en el cual, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados. Este teorema tiene aplicaciones prácticas en la resolución de problemas relacionados con distancias y medidas, y es fundamental en trigonometría.
 
Teorema de Tales: se centra en las proporciones en triángulos semejantes. Según este teorema, si trazamos dos líneas paralelas cortadas por una serie de líneas secantes, los segmentos que se forman en las líneas secantes son proporcionales. Este teorema es fundamental en la resolución de problemas geométricos y también tiene aplicaciones en la trigonometría y la geometría analítica.
 
Trigonometría
Funciones trigonométricas: coseno, tangente, etc.  Identidades trigonométricas: relaciones importantes entre funciones trigonométricas. Cálculo:
Seno (sinθ): en un triángulo rectángulo, es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Coseno (cosθ): es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.
Tangente (tanθ): relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente en un triángulo rectángulo.
Cotangente (cotθ), secante (secθ), cosecante (cscθ): son funciones trigonométricas recíprocas de la tangente, coseno y seno, respectivamente.
Identidades trigonométricas:
 
  • Fundamentales:como la identidad pitagórica (sin2θ + cos2θ = 1).
  • Relaciones de ángulo doble y mitad:ejemplo: sin (2θ) = 2sinθcosθ.
  • reciprocas:relacionan las funciones trigonométricas.
  • Identidades de suma y resta:ayudan a expresar funciones trigonométricas de sumas y restas de ángulos.·        
Cálculo: es una rama de las matemáticas que se divide en dos áreas principales: cálculo diferencial y cálculo integral; son fundamentales en matemáticas y tienen aplicaciones extensas en física, ingeniería, ciencias de la computación y diversas disciplinas científicas.
Cálculo diferencial:
  • Derivadas:representan la tasa de cambio instantáneo de una función respecto a una variable.
  • Reglas de derivación:permiten calcular derivadas de funciones más complejas utilizando reglas específicas.
  • Máximos y mínimos:se utilizan derivadas para encontrar puntos críticos y determinar extremos relativos de una función.
Cálculo integral:
  • Integrales definidas e indefinidas:la integral indefinida representa una anti derivada, mientras que la integral definida calcula el área bajo una curva.
  • Reglas de integración:ayudan a encontrar la integral de funciones más complejas.
  • Teorema fundamental del cálculo:relaciona el cálculo de áreas bajo curvas con la evaluación de funciones en puntos específicos.
Aplicaciones:
  • Áreas y volúmenes:se utilizan integrales para calcular áreas entre curvas y volúmenes de sólidos.
  • Problemas de optimización:se resuelven usando derivadas para encontrar máximos y mínimos.
  • Ecuaciones diferenciales:modelan fenómenos que cambian con el tiempo; cómo por ejemplo, un objeto se enfría hacia la temperatura ambiente a medida que pasa el tiempo, y la velocidad de enfriamiento está determinada por la constante k. Este tipo de ecuaciones diferenciales se resuelven mediante métodos de cálculo diferencial, como la separación de variables, la sustitución, o utilizando técnicas más avanzadas según la complejidad del problema.
Probabilidades y estadísticas: explorando el mundo de la incertidumbre y los datos; la probabilidad y las estadísticas forman un dúo poderoso que permite a investigadores, científicos y profesionales abordar la incertidumbre, tomar decisiones fundamentadas y revelar patrones significativos en un mar de datos. Estas disciplinas no solo son fundamentales para la investigación académica, sino que también desempeñan un papel crucial en la toma de decisiones cotidianas y en la resolución de problemas en diversos campos, proporcionando una sólida base para comprender la complejidad inherente a nuestro entorno.
  • Probabilidad:se erige como una herramienta esencial para cuantificar la certeza o posibilidad de que ocurran eventos. En el contexto de la teoría de la probabilidad, los eventos se evalúan en términos de la probabilidad que tienen de suceder, representada por números entre 0 y 1, donde 0 indica certeza absoluta de que un evento no ocurrirá, mientras que 1 implica certeza absoluta de que sí ocurrirá. Este enfoque matemático proporciona una base sólida para abordar la incertidumbre inherente a muchos fenómenos, desde juegos de azar hasta procesos complejos en ciencia y tecnología.
  • Estadísticas: más allá de los números, la ciencia de los datos, constituye una disciplina integral que abarca la recopilación, análisis e interpretación de datos. En un mundo saturado de información, las estadísticas ofrecen las herramientas necesarias para extraer significado de conjuntos de datos, identificar patrones subyacentes y tomar decisiones fundamentadas. Desde la descripción básica de datos hasta técnicas avanzadas de modelado, las estadísticas proporcionan un marco analítico para comprender fenómenos complejos y tomar decisiones informadas en campos tan diversos como la investigación científica, el análisis financiero y la planificación estratégica.
 
La lógica matemática es una rama que se ocupa del estudio de la estructura y las leyes del razonamiento deductivo; proporciona las herramientas formales para analizar y evaluar argumentos, así como para establecer la validez de proposiciones.
Proposiciones: es una afirmación que es verdadera o falsa, pero no ambas al mismo tiempo. Por ejemplo, "2 + 2 = 4" es una proposición verdadera.
  • Tipos de Proposiciones:
  • Atómicas: no se pueden dividir en proposiciones más simples.
  • Compuestas:se forman mediante la combinación de proposiciones atómicas usando conectivos lógicos.
Variables proposicionales:
  • Se utilizan letras (p, q, r, etc.) para representar proposiciones simples o atómicas.
Conectivos lógicos: conjunción (): la proposición compuesta es verdadera solo cuando ambas p y q son verdaderas.
Disyunción (): la proposición compuesta es verdadera si al menos una de p o q es verdadera.
Negación (¬): la proposición negada p es verdadera si p es falsa, y viceversa.
Implicación (→): la proposición compuesta pq es falsa solo cuando p es verdadera y q es falsa. En todos los demás casos, es verdadera.
Bicondicional (↔): la proposición compuesta pq es verdadera si p y q tienen el mismo valor de verdad (ambos verdaderos o ambos falsos).
Tablas de Verdad: las tablas de verdad muestran los posibles valores de verdad para una proposición compuesta en función de los valores de sus componentes.
Leyes de la Lógica: estos conceptos y herramientas forman la base para el razonamiento lógico y son esenciales en diversas áreas, incluyendo la informática, las ciencias de la computación y las matemáticas en general.
 
  1. Ley de Identidad:es como decir que si algo es verdad, entonces es verdad. Es como decir que si llueve (p), entonces sí, está lloviendo.
  2. Ley de Dominio:si algo es verdad y se mezcla con "falso", siempre se obtiene falso. Si se dices "es de día (p) y es de noche (F)", eso es falso. También, si se dice "no es de día (¬p) o es verdad (T)", eso siempre será verdad.
  3. Ley de Contradicción:si se dice que algo es verdad y al mismo tiempo no es verdad, eso es siempre falso. Por ejemplo, decir "es de día (p) y no es de día (¬p)" no tiene sentido y es falso. Pero decir "es de día (p) o no es de día (¬p)" siempre es verdad.
  4. Leyes De Morgan:dos regla, la primera es que si se niega que dos cosas son verdad al mismo tiempo, eso es lo mismo que decir que una de ellas no es verdad. Por ejemplo, "no es de día y no está lloviendo" es igual a "no es de día o no está lloviendo". La segunda es si se niega que al menos una de dos cosas es verdad, eso es igual a decir que ninguna de ellas es verdad. Por ejemplo, "no es de día o no está lloviendo" es igual a "no es de día y no está lloviendo". Son como reglas para jugar con las palabras y las verdades. 
 
 
Vistazo a la importancia de vectores y matrices en Álgebra Lineal y sus aplicaciones en diversas disciplinas.
Vectores: un vector es como una flecha en matemáticas. Si se está en un espacio tridimensional (como el mundo que nos rodea), y se quiere decir dónde está algo, se  necesitan tres números para eso. En una ciudad, se puede decir "estoy 12 kilómetros al norte, 3 kilómetros al este y 4 kilómetros hacia arriba". Igual se puede poner en un vector: [12, 3, 4]. Si se quiere sumar dos vectores o multiplicar un vector por un número, simplemente se hacen esas operaciones con cada número del vector.
Matrices: Ahora, una matriz es como una tabla de números. En lugar de tener solo una fila (como un vector) o una columna, tiene filas y columnas, como una hoja de cálculo. Cada número en la matriz tiene una ubicación específica, como estar en la fila 2, columna 3. Las matrices son muy útiles para hacer cálculos más complejos.
Aplicaciones en Física e Informática:
  • Física:los vectores ayudan a describir cosas en movimiento, como velocidad y fuerza. Las matrices se usan para resolver problemas más grandes y complicados que involucran muchas variables.
  • Informática:en la computación, especialmente en gráficos y programación, los vectores y matrices son como herramientas mágicas. Se usan para representar puntos en la pantalla, hacer cosas en gráficos 3D y programar computadoras para aprender cosas nuevas.
 
Multiplicación de matrices: para multiplicar dos matrices, A y B, se multiplica una fila de la primera matriz por una columna de la segunda y se suman esos productos para calcular matriz resultante.
La Geometría Analítica es una rama de las matemáticas que combina conceptos geométricos con herramientas algebraicas. Dentro de este campo, las coordenadas cartesianas desempeñan un papel fundamental al proporcionar una representación algebraica de puntos y figuras geométricas en el plano o en el espacio tridimensional. La Geometría Analítica proporciona un marco poderoso para la representación algebraica y el estudio de objetos geométricos, desempeñando un papel esencial en el análisis matemático y en numerosas aplicaciones prácticas.
Sistema de coordenadas cartesianas: la representación de puntos en un plano se logra mediante un sistema de coordenadas cartesianas. Este sistema consiste en dos ejes perpendiculares: el eje horizontal (eje x) y el eje vertical (eje y). Cada punto en el plano se identifica mediante un par ordenado (x, y), donde "x" es la coordenada en el eje horizontal y "y" es la coordenada en el eje vertical.
 
Ecuaciones y funciones:
  • Las figuras geométricas, como líneas, circunferencias y elipses, pueden expresarse algebraicamente mediante ecuaciones. Por ejemplo, la ecuación de una línea recta en el plano es y = mx + b, donde "m" es la pendiente y "b" es la ordenada al origen. Las funciones algebraicas se utilizan para representar curvas y superficies en el espacio tridimensional, extendiendo el concepto de coordenadas cartesianas.
Transformaciones geométricas: las operaciones algebraicas en las coordenadas cartesianas permiten realizar transformaciones geométricas. Esto incluye traslaciones, rotaciones, reflexiones y escalas, que afectan la posición y la forma de las figuras geométricas.
 
Geometría en el espacio: la Geometría Analítica se extiende al espacio tridimensional, donde cada punto se representa mediante un conjunto de tres coordenadas (x, y, z). Las ecuaciones algebraicas se utilizan para describir objetos tridimensionales, como planos, esferas y cilindros.
 
Aplicaciones en Ciencias e Ingeniería: la Geometría Analítica tiene aplicaciones extensas en diversas disciplinas, incluyendo física, ingeniería y ciencias computacionales. Permite modelar y resolver problemas prácticos mediante métodos algebraicos y geométricos.
 
Vectores y Álgebra Lineal: la representación vectorial se integra con la Geometría Analítica. Los vectores se utilizan para describir direcciones y magnitudes, lo que facilita el análisis de desplazamientos y fuerzas en el espacio.
 
Desarrollos Modernos: la Geometría Analítica ha evolucionado con desarrollos matemáticos y tecnológicos a métodos más avanzados, como la geometría diferencial y la geometría algebraica ampliado las posibilidades de modelado y análisis. La geometría diferencial se enfoca en entender las propiedades geométricas mediante el uso de conceptos derivados e integrales. Esto ayuda a analizar cómo cambian y se relacionan las formas en diferentes puntos. La algebraica utiliza conceptos para estudiar las soluciones de ecuaciones polinómicas, lo cual tiene aplicaciones directas en la descripción de curvas y superficies, nuevos avances han ampliado significativamente las capacidades para modelar y analizar formas geométricas de maneras más complejas y detalladas. Además, con el apoyo de la tecnología, como software especializado, ahora se puede visualizar y manipular estas formas de manera más eficiente y precisa, lo que ha revolucionado la forma en que abordamos problemas geométricos en la actualidad. 
La Teoría de Conjuntos es una rama fundamental de las matemáticas que proporciona la base para el razonamiento lógico y se extiende a diversas áreas de estudio. En esta disciplina, se exploran conceptos relacionados con conjuntos y las operaciones que se pueden realizar con ellos, desempeñando un papel esencial en la estructura y comprensión de la lógica matemática.
 Definición de Conjuntos: una colección bien definida de elementos que pueden ser números, letras, o cualquier otro objeto matemático. La Teoría de Conjuntos no solo es esencial para la lógica matemática, sino que también desempeña un papel central en la estructura y el razonamiento de diversas ramas de las matemáticas, brindando un marco conceptual sólido para la formulación y solución de problemas matemáticos. 
Operaciones Básicas con Conjuntos: 
  • Unión (): se genera un nuevo conjunto que contiene todos los elementos presentes en ambos conjuntos originales, eliminando duplicados.
  • Intersección (produce un nuevo conjunto que contiene solo los elementos comunes a ambos conjuntos.
  • Diferencia (−):la diferencia entre dos conjuntos crea uno nuevo que incluye todos los elementos del primero y que no están en el segundo conjunto.
  • Complemento ('):el complemento de un conjunto respecto a un conjunto universal se compone de todos los elementos que no están en el conjunto original.
Axiomas de la teoría de conjuntos: se basa en proposiciones que establecen las reglas fundamentales que rigen la manipulación de conjuntos. Estos axiomas proporcionan la base lógica para el desarrollo de la teoría.
Relación con otras ramas de las matemáticas: la teoría de conjuntos se entrelaza con diversas ramas de las matemáticas, como la lógica matemática, el álgebra, la topología y la teoría de números. Su aplicación es crucial en la formulación y resolución de problemas en estas disciplinas.
  • Teorema de Cantor y la Cardinalidad de Conjuntos:este teorema establece que hay conjuntos de diferentes tamaños infinitos, y la noción de cardinalidad se utiliza para comparar y clasificar la "cantidad" de elementos en conjuntos infinitos;  existen  conjuntos infinitos, siendo unos más grandes que otros como dos cajas, una con todos los números pares y otra con todos los números. Aunque ambos conjuntos son infinitos, el conjunto de todos los números es más grande.
  1. Teorema de Zermelo-Fraenkel (ZF):
Idea Principal: reglas precisas para jugar con conjuntos y evitar problemas extraños. Es como tener reglas claras en un juego. El ZF asegura que cuando jugamos con conjuntos, no nos encontraremos con situaciones confusas o problemas extraños. Conjuntamente con la Proposición de Elección, el sistema ZF es un conjunto de axiomas que proporciona una base más rigurosa y completa para la Teoría de Conjuntos, abordando posibles paradojas y estableciendo las reglas para la construcción de conjuntos.
 

https://www.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sterraza/mate2016/CALCULODIFERENCIAL/1_INTRO.html

Introducción a las matemáticas financieras

Una rama que se centra en el estudio de las operaciones financieras y en cómo el tiempo afecta el valor del dinero. Es fundamental comprender estos principios para tomar decisiones financieras informadas y evaluar inversiones, préstamos y otras transacciones. La práctica con problemas y ejemplos es esencial para afianzar estos conceptos y los cálculos se facilitan enormemente utilizando Excell.
 
Interés simple:
  • Se calcula sobre el capital original durante un período específico.
  • La fórmula básica es: interés=capital×tasa×tiempo.
Colocando $1000 a una tasa de interés del 5% anual. El interés simple se calcula  multiplicando el capital inicial por la tasa de interés y el tiempo en años.
i=p.r.t
  • P: capital inicial ( $1000)
  • r: Tasa de interés (5% o 0.05)
  • t: Tiempo en años (digamos, 3 años)
Calcular el interés simple:
=1000⋅0.05⋅3=150I=1000⋅0.05⋅3=150
Después de 3 años, el interés simple es de $150. El monto total sería =1000+150=1150P+I=1000+150=1150.
Interés Compuesto:
  • A diferencia del interés simple, los rendimientos generados se suman al capital original, y los intereses futuros se calculan sobre esta nueva cantidad. La fórmula es: monto=capital (1+tasa) tiempo.
Fórmula del interés compuesto: (1+A=P (1+r/n) nt
  • P: capital inicial (en este caso, $1000)
  • r: tasa de interés por período (en este caso, 5% o 0.05)
  • n: número de períodos de capitalización por año
  • t: tiempo en años (en este caso, 3 años)
Si la tasa de interés se capitaliza anualmente (1n=1).
=1000⋅(1+0.05/1)1⋅3A=1000⋅(1+0.05/1)1⋅3
=1000⋅(1.05)3A=1000⋅(1.05)3
Se calculamos  A y se obtiene el monto total después de 3 años.
Se nota claramente que el monto total después de 3 años con interés compuesto es mayor que el monto total con interés simple. El interés compuesto tiene en cuenta los intereses acumulados en cada período, lo que lleva a un crecimiento exponencial del capital.
  1. Valor del dinero en el tiempo:
Principio sustenta que el valor de una cantidad de dinero varía con el tiempo debido a factores como la inflación o el interés. Se utiliza la fórmula del valor presente y futuro para ajustar las cantidades monetarias a diferentes puntos en el tiempo.
 
  1. Anualidades:
  • Una anualidad es una serie de pagos iguales realizados o recibidos a intervalos regulares. Las anualidades pueden ser ordinarias (pagos al final del período) o anticipadas (pagos al inicio del período).
  1. Valor presente neto (VPN) y tasa interna de retorno (TIR):
  • El VPN es la diferencia entre el valor presente de los flujos de efectivo entrantes y salientes de una inversión.
  • La TIR es la tasa de descuento que hace que el VPN sea igual a cero.
Cálculo del Valor Presente (VP):
Si se tiene la oportunidad de invertir dinero en un proyecto que dará un rendimiento del 8% anual durante 5 años y se  quiere calcular cuánto habría que invertir hoy para obtener un retorno de $10,000 al final de esos 5 años.
La fórmula del valor presente es:
 (1+VP= (1+r) nVF, donde:
VP es el valor presente,
  • VF es el valor futuro,
  • r es la tasa de interés por periodo, y
  • n es el número de periodos.
En este caso, VF es $10,000, r es 0.08 (8% expresado como decimal) y n es 5.
=10,000(1+0.08)5VP= (1+0.08)510,000
Cálculo del Valor Futuro (VF):
Si se invierten $5,000 en un depósito que paga una tasa de interés del 6% anual cuánto se acumulará al final de 8 años.
La fórmula del Valor Futuro es:
VF=VP (1+r)n
Donde:
  • VF es el valor futuro,
  • VP es el valor presente,
  • r es la tasa de interés por periodo, y
  • n es el número de periodos.
En este caso, VP es $5,000, r es 0.06 (6% expresado como decimal) y n es 8.
=5,000(1+0.06)8VF=5,000 (1+0.06)8
Esto te dará el Valor Futuro después de 8 años.
  1. Amortización:
  • Es el proceso de pago de una deuda a lo largo del tiempo en pagos regulares. Se utilizan fórmulas de amortización para calcular cuotas de préstamos que cubran tanto el capital como los intereses.
  1. Tasa de interés nominal y efectiva:
  • La tasa de interés nominal es la tasa de interés antes de la ajustar por la frecuencia de capitalización y el tiempo. La tasa de interés efectiva es el valor real de interés después de considerar estos factores.
 
 
La tasa efectiva es una medida que refleja el costo o rendimiento real de un préstamo o inversión, teniendo en cuenta factores como la frecuencia de capitalización. La fórmula general para calcular la tasa efectiva es:
1(1+ni) n1 donde:
  • i es la tasa nominal anual,
  • n es la frecuencia de capitalización por año.
Suponiendo que se tiene una tasa nominal anual del 5%, y los intereses se capitalizan trimestralmente (4n=4).
(1+0.054)4−1 (1+40.05)4−1
Solución paso a paso:
  1. Calcular el cociente ni: 0.054=0.012540.05=0.0125
  2. Sumar 1 al cociente: 1+0.0125=1.01251+0.0125=1.0125
  3. Elevar este resultado a la potencia n: (1.0125)4≈1.0506015625(1.0125)4≈1.0506015625
  4. Restar 1 al resultado: 1.0506015625−1≈0.05060156251.0506015625−1≈0.0506015625
Por lo tanto, la tasa efectiva en este caso sería 0.0506 o 5.06%. Este ejemplo asume que los intereses se capitalizan trimestralmente. Si la capitalización es diferente, simplemente ajusta el valor de n en la fórmula. La tasa efectiva es útil para comparar diferentes ofertas de préstamos o inversiones, ya que refleja el impacto de la frecuencia de capitalización en el rendimiento o costo real.
 
 
 
Concepto de la IA: "Repasando Matemáticas con la IA" de José Saúl Velásquez Restrepo ofrece un exhaustivo recorrido por conceptos matemáticos fundamentales, desde los números naturales hasta áreas avanzadas como el cálculo, la geometría analítica, y la teoría de conjuntos. La obra destaca la importancia de estos conceptos en diversas disciplinas y resalta su aplicación práctica en situaciones teóricas y prácticas.
El autor comienza introduciendo los números naturales, enteros, racionales, irracionales, reales, y complejos, proporcionando una base sólida para comprender operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división. Además, explora conceptos como potenciación, radicales y módulo. Esta sección establece los cimientos necesarios para avanzar hacia áreas más complejas de las matemáticas.
El álgebra elemental y la resolución de ecuaciones son abordadas de manera clara, junto con conceptos como polinomios y factorización. Se profundiza en las ecuaciones cuadráticas, inecuaciones y sistemas de ecuaciones, resaltando su importancia en la resolución de problemas en diversos campos.
La inclusión de funciones trigonométricas amplía la aplicación de las matemáticas a problemas en triángulos y círculos, fundamentales en geometría y ciencias aplicadas. La teoría de números, con énfasis en los números primos y congruencias, agrega una dimensión intrigante al estudio matemático.
La obra destaca la relevancia de la geometría, introduciendo conceptos fundamentales como el teorema de Pitágoras y el teorema de Tales. La geometría analítica, con su conexión a vectores y matrices, es presentada como una herramienta poderosa en física e informática.
El cálculo, dividido en cálculo diferencial e integral, se aborda de manera exhaustiva, destacando su importancia en áreas como física, ingeniería, y ciencias de la computación. Se exploran aplicaciones prácticas como el cálculo de áreas y volúmenes, la resolución de problemas de optimización, y la modelización de fenómenos que cambian con el tiempo mediante ecuaciones diferenciales.
La sección dedicada a probabilidades y estadísticas destaca su papel en la toma de decisiones y la revelación de patrones en conjuntos de datos. La lógica matemática es presentada como una herramienta fundamental para analizar y evaluar argumentos, estableciendo la validez de proposiciones mediante conectivos lógicos y tablas de verdad.
La obra concluye con una revisión de vectores y matrices en álgebra lineal, destacando sus aplicaciones en física e informática. Además, se abordan desarrollos modernos en geometría analítica, incluyendo la geometría diferencial y algebraica, y la influencia de la tecnología en la visualización y manipulación de formas geométricas complejas.
En resumen, "Repasando Matemáticas con la IA" proporciona una visión completa y accesible de conceptos matemáticos esenciales, destacando su aplicabilidad en diversas disciplinas y resaltando su importancia en la resolución de problemas teóricos y prácticos.
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